ЕГЭ №14. Отношения, сечения

В правильной четырёхугольной пирамиде известно, что Через точку  — пересечение диагоналей основания  — перпендикулярно ребру проведена плоскость
а) Докажите, что плоскость проходит через вершины и
б) В каком отношении плоскость делит ребро считая от вершины если площадь сечения равна

а) Пусть  — точка пересечения диагоналей
Пусть (*)
Заметим,  — проекция на плоскость При этом (свойство диагоналей квадрата). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах (**)
Таким образом из (*) и (**) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Плоскость и есть плоскость то есть плоскость проходит через вершины и
б) Найдём отношение
Пусть
По условию тогда

Из треугольника

Кроме того
Из треугольника

Тогда
Итак,
Ответ:

Плоскость перпендикулярна плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды и пересекает ребро в точке Сечением пирамиды плоскостью является правильный треугольник с площадью
а) Докажите что плоскость перпендикулярна прямой
б) В каком отношении точка делит ребро считая от точки если объём пирамиды равен

а) Пусть  — центр основания пирамиды (центр квадрата
Так как плоскость перпендикулярна плоскости то она должна содержать в себе перпендикуляр к Пусть точка проецируется в точку принадлежит диагонали так как и на которой лежит проецируются в и
Прямая как перпендикуляр к
Далее, пусть
и перпендикулярны к плоскости основания, треугольник по условию правильный, значит высота треугольника  — и медиана, то есть  — середина
Но тогда треугольник  — равнобедренный, так как  — не только медиана в нём, но и биссектриса (диагонали квадрата являются биссектрисами углов). Стало быть, (или
Из и следует по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Из условия:
значит
В прямоугольном треугольнике AMN медиана:

Пусть сторона основания равна высота пирамиды —
Тогда
Из подобия треугольников и

Подставим значения:

Теперь найдём объём пирамиды:

По условию значит

Тогда
Итак,

Ответ:

В правильной треугольной призме сторона основания равна точка — середина ребра
а) Докажите, что сечение — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна

а) Заметим, треугольники и — прямоугольные, так как по условию призма правильная, а значит прямая. Откуда

Треугольники равны по двум катетам ( так как — середина по условию и
так как рёбра основания правильной призмы равны), откуда
Стало быть, сечение — равнобедренный треугольник.

б) Пусть высота призмы равна Пусть пересекаются в точке
Имеем:

а значит

Из треугольника (в котором медиана является и высотой):

Так как по условию то

Итак,
Ответ:

В правильной треугольной призме отметили точки и на рёбрах и соответственно. Известно, что Через точки и провели плоскость перпендикулярную грани

а) Докажите, что плоскость проходит через вершину
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если все рёбра призмы равны

а) — середина по условию, значит медиана является и высотой треугольника (призма правильная, в основании правильный треугольник).
Итак,

Также (так как правильная призма — прямая, то есть боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований и любым прямым в них). Тогда по признаку перпендикулярности плоскостей (плоскость содержит перпендикуляр к ), а значит, плоскость и есть плоскость

б) Заметим, из следует, что

Заметим, треугольник — прямоугольный, ведь — перпендикуляр к плоскости а значит и к прямой

Ответ:

В правильной треугольной призме отметили точки и на рёбрах и соответственно. Известно что Через точки и провели плоскость перпендикулярную грани
а) Докажите что плоскость проходит через вершину
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если все рёбра призмы равны

а) — середина по условию, значит медиана является и высотой треугольника (призма правильная, в основании правильный треугольник).

Также (так как правильная призма — прямая, то есть боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований и любым прямым в них). Тогда по признаку перпендикулярности плоскостей (плоскость содержит перпендикуляр к ). Плоскость и есть плоскость

б) Заметим, из следует, что
Заметим, треугольник — прямоугольный, ведь — перпендикуляр к плоскости
а значит и к прямой

Ответ:

Грани и тетраэдра являются правильными треугольниками со стороной и перпендикулярны друг другу. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна ребру
б) Найдите длину отрезка пересечения грани и плоскости

а) Пусть (см. главный рис.)
Проведем (рис. 1) через точку прямую, параллельную пересекающую в точке
значит и
А так как по условию, то
Далее, значит и тогда
 — равнобедренный,
В То есть
Заметим,
Но и (рис. 2) если  — середина
Тогда а так как то и
 — линия пересечения перпендикулярных плоскостей, значит, по свойству перпендикулярных плоскостей, Откуда
Из и
б) Пусть Найдём длину

Пусть (рис. 3)

и

Пусть
А так как то и то есть

Ответ:

В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат Плоскость пересекает рёбра и в точках и соответственно, причём а точки и  — середины рёбер и
а) Докажите, что четырёхугольник является трапецией, длины оснований которой относятся как
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями и равен площадь сечения пирамиды плоскостью равна а площадь основания пирамиды равна

а) будучи средней линией параллельна а значит и
Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, пересечет по прямой, параллельной то есть и  — трапеция.
Заметим, а Таким образом,
б) По условию,
По условию,  — высота трапеции
Пусть проецируется в Пусть
Пусть
Пусть
Заметим, по некоторой прямой параллельной (по свойству прямой, параллельной плоскости).
Очевидно,
А так как  — проекция на то и (по теореме о 3-х перпендикулярах).
Таким образом,
Заметим, и т. е.  — высота трапеции
Пусть

А так как  — середина то

Тогда
Пусть заметим,  — средняя линия
В прямоугольном
Стало быть,
Ответ:

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник На рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что четырёхугольник  — трапеция с основаниями и Известно, что
а) Докажите, что плоскость пересекает рёбра и в их серединах.
б) Найдите высоту пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой площадь основания равна а площадь сечения

а) Если допустить, что то получим (действительно,
Противоречие, ведь и имеют общую точку.
Итак,

Но тогда т. е.  — средняя линия
Таким образом, пересекает и в их серединах.
б) Заметим, так как  — проецируется в точку пересечения диагоналей то И трапеция очевидно — равнобедренная.
Пусть  — середины Пусть
По условию,
По условию

В то же время, (по теореме косинусов из
Тогда

Откуда
Наконец,

Ответ:

В правильной треугольной призме точка является серединой ребра а точка  — серединой ребра Плоскость параллельная прямым и проходит через середину отрезка
а) Докажите, что плоскость проходит через середину отрезка
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если все рёбра этой призмы равны

а) Пусть  — середина Отметим
Тогда
Пусть  — середина Отметим Тогда
Плоскость и есть так как проходит через середину и содержит в себе прямые, параллельные и
Пусть
 — сечение призмы плоскостью Покажем, что  — середина
Пусть Тогда

Тогда пусть Значит,
Стало быть, и
Наконец, (по катету и острому углу), а значит то есть  — середина
б)

Ответ:

Основанием прямой призмы является параллелограмм. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём а  — равнобедренная трапеция с основаниями и
а) Докажите, что  — середина
б) Найдите площадь трапеции если объём призмы равен а её высота равна

а) Пусть тогда
Пусть
Тогда
А так как то понимаем, что  — середина
б)

Пусть проецируется в точку плоскости а  — в точку
Пусть (по теореме о 3-х перпендикулярах и

Пусть

(см. рис.);

а

Таким образом,
При этом
Откуда
Из

Наконец,

Ответ:

На рёбрах и тетраэдра отмечены точки и соответственно, причём Четырёхугольник  — квадрат.
а) Докажите, что
б) Найдите объём пирамиды если объём тетраэдра равен

Ответ:

В основании пирамиды лежит параллелограмм На боковых рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите объём пирамиды если площадь параллелограмма равна а высота пирамиды равна

а) См. рис. 1.
Пусть и пересекаются в т.
Пусть и пересекаются в т.
— прямая пересечения плоскостей и
Покажем, что т. принадлежит

Заметим (см. рис. 2),

Треугольники равны по I признаку (см. рис. 3)

Из

Значит то есть точки лежат на одной прямой.
б)

Ответ: